高数 微积分(B) 无穷级数练习题

2013-2014(2) 大学数学(B) 练习题

第四章 无穷级数

一、选择题

1. 若limun?0，则级数

n???un?1?n………………………………………………………（ ）

A. 收敛且和为0 B. 收敛但和不一定为0 C. 发散 D. 可能收敛也可能发散 2. 下列级数发散的是……………………………………………………………………（ ）

1 A. ?n B.

n?123. 设无穷级数

?12() C. ?nn?1??n?2?1n?1 D.

?(n?1?1) 2n?n?nn?1?p收敛，则在下列数值中p的取值为……………………………（ ）

A. ?2 B. ?1 C. 1 D. 2

?anx?1n1)的收敛半径等于…………………………（ ） 4. 若lim?，则级数?an(n??a23n?0n?1 A.

123 B. 3 C. D. 3325. 幂级数

?(?1)n?1?n?1(x?1)n的收敛区域是……………………………………………（ ） n A. (0,2] B. [0,2) C. (0,2) D. [0,2]

6. 设幂级数

?an?0??nx在x?3处收敛，则该级数在x??1点处………………………（ ） n A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C. 发散 D. 可能收敛也可能发散 7. 无穷级数

1的和为…………………………………………………………………（ ） ?n!n?1 A. e B. e?1 C. e?1 D. e?2

x48. 展成x的幂级数是………………………………………………………………（ ） 1?x2A.

?x

n?1

?

2n

B.

?(?1)n?1?nx C.

2n?xn?2?2n D.

?(?1)n?2?nx2n

二、填空题

1

1. 若级数

?un?1?n收敛于S，则级数

??(un?1?n?un?1)收敛于 ．

2. 设a为常数,若级数

?(un?1n?a)收敛，则limun? ．

n??3. 部分和数列?Sn?有界是正项级数

??un?1?n收敛的 条件．

4. 若级数

?nn?1?lnx收敛，则x的取值范围是 ．

?5. 若级数

?un?1n条件收敛，则级数

?un?1n的敛散性为 ．

?(?1)nnnn?6. 幂级数??x?3x??2n?的收敛半径为 ． n?1???7. 设幂级数

?an?1?nx的收敛半径为2，则级数?nan(x?1)n的收敛区间为 ．

nn?1?x2x4x6????)dx? ． 8. ?x(1?01!2!3!1三、解答与证明题

1．证明级数

111??????收敛并求其和． 1?44?7(3n?2)(3n?1)2．判断下列级数的敛散性．

（1）

11111357???????； ????； （2）

246822334nn?1??1?n（3）?tan； （4）?n?1； （5）?2sinn；

4n3n?1n?1n5n?1??3nn!3323334?????； （4）?n； （7）2341?2n2?23?24?2n?1???n32?(?1)nnn)； （9）?n； （10）?（8）?(． n2n?1n?13n?12n?1?3．下列级数哪些是绝对收敛的？哪些是条件收敛的？

2

（1）

?n?1?(?1)n?1n?sinnxn?1n； （2）?； （3）． (?1)?2nn2n?1n?1?4．求下列幂级数的收敛半径和收敛域．

??xn(?1)nnnx． （1）??； （2）?(nx)； （3）?nn2n?1n?0n?1?5．求级数

?(?1)n?1?n?1x2n?1x3x5x7?x?????的收敛域并求和． 2n?13576．利用已知展开式展开下列函数为x的幂级数并确定收敛域．

（1）f(x)?e?x； （2）f(x)?ln

3

21?xx； （3）f(x)?． 1?x1?x?2x22013-2014(2) 大学数学(B) 练习题

第四章参考答案

一、选择题

1. D； 2. C ； 3. A； 4. C； 5. A； 6. A； 7. B； 8. C． 二、填空题

1.2S?u1； 2.a； 3.充要； 4.0?x?三、解答与证明题

n111111?)?lim(1?)?． 1． limSn?lim?(n??3n??k?13k?23k?13n??3n?13111?1； 5.发散； 6.； 7.(?3,1)； 8.(1?e)． e322．（1）因liman?limn??2n?1?1?0，由级数的收敛的必要条件，该级数发散．

n??2n?11?12n?11??发散，或者 由于，且?故由比较判别法，该级数发散． ?2n?1n2n2nn?12n（2）由于

1nn?1?1n32，且

?n?1?1n32收敛，故由比较判别法，该级数收敛．

tan（3）由于limn????4n???0，且1发散，故由比较判别法的极限形式，该级数发散． ?14n?1nn?111（4）由于n?1?n?1，且?n?1收敛，故由比较判别法，该级数收敛．

n55n?15a（5）limn?1?limn??an??n2sin?3n?1?2?1，故由比值判别法（达朗贝尔判别法），级数收敛． ?3sinn3（6）liman?1n??an3n?1(n?1)!(n?1)n?133则由比值判别法，该级数发散． ?lim?lim??1，nn??n??1e3n!n(1?)nnn（7）liman?1n??an3n?13n3(n?1)?2n?1??lim??1，故由比值判别法，该级数发散． nn??2(n?1)23n?2n 4

（8）由于limnan?limn??nn1，该级数收敛． ??1，故由根值判别法（柯西判别法）

n??2n?12n31??1，故由根值判别法，该级数收敛． （9）liman?limn??n??33nil（10）由于1?n2?(?1)n?n3，且mnnn??n3?1，根据两边夹法则知limn2?(?1)?1，

n??n2?(?1)1故limnan?lim??1，由根值判别法，该级数收敛． n??n??223．（1）这是交错级数，un?1n，un?1?un，又un?0，由莱布尼兹判别法知故原级数

?收敛．因取绝对值后的级数

?n?11n通过比较判别法易知其发散，故原级数条件收敛；

（2）各项取绝对值后得级数

??n?1??sinnxsinnx11?，因，及级数收敛， ?2222nnnn?1n由比较判别法知级数

?n?1sinnx收敛，所以原级数绝对收敛． 2n?（3）各项取绝对值后得级数

?2n?1nn，对此正项级数用比值审敛法，有

?un?1n?11nlim?lim??1，故级数?n收敛，所以原级数绝对收敛． n??un??2n2n?12n4．（1）an??an1， ??limn?1?lim?1

n??n??nann?11?1，收敛区间为(?1, 1)．

于是该级数的收敛半径为R??111????)，括号内是调和级数，发散， 23n111当x??1时，该级数为1????(?1)n?1?，

23n当x?1时，该级数为?(1?这是交错级数，满足莱布尼兹判别法收敛条件，故收敛．

所以该级数的收敛区间为??1,1?；

an?1(n?1)n?1?lim??? （2）an?n，??limnn??an??nnn 于是该级数的收敛半径为R?0，则该级数仅在x?0处收敛；

5

an?1(?1)n2n1（3）an?， ??lim?lim?nn?1n??n??an222 于是该级数的收敛半径为R?1??2，收敛区间为(?2, 2)．

当x??2时，幂级数成为

?1，是发散的；

n?1n?当x?2时，幂级数成为

?(?1)n?1?，是发散的．因此收敛域为(?2, 2)．

5．limun?1(x)2n?1?lim|x|2?x2，则由达朗贝尔判别法，当|x|?1时，级数收敛；

n??u(x)n??2n?1n当|x|?1时，级数发散，因此收敛半径R?1． 因|x|?1时，得1?111111????与?1?????，根据莱布尼兹判别法， 357357x3x5x7????， 这两个数项级数都收敛，故收敛域为[?1,1]．设S(x)?x?357由幂级数的性质，有

1，|x|?1， 1?x2xxdt? S(x)?S(x)?S(0)??S(t)dt???arctanx，|x|?1． 001?t2 S?(x)?1?x?x?x???2466．（1）f(x)?e?x2?(?1)nx2nx4x6?1?x??????，|x|???．

n!2!3!n?02（2）f(x)?ln1?x?ln(1?x)?ln(1?x) 1?x??x2x3x4x2x3x4 ?(x?????)???(x?????)?

234234???(?1)n?1n?1x2n?1x3x5x?2(x????)?2? ??，|x|?1．

n?12n?135n?0n?0?x1111?n?n?(?)?[x?(?2x)] （3）f(x)???231?x1?2x3n?01?x?2xn?01?1nn ??(1?(?2))x，|x|?．

3n?02 6

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