广西师范大学漓江学院试卷
（2008 —2009 学年第二学期）
课程名称：常微分方程 课程序号： 开课院系：理学系 任课教师：陈迪三 年级、专业：07数学 考试时间：120分钟
装订密封线 考生答题不得出现红色字迹，除画图外，不能使用铅笔答题；答题留空不足时，可写到试卷背面；请注意保持试卷完整。
考核方式：闭卷 ■ 开卷 □ 试卷类型：A卷 ■ B卷 □
得 分 评卷人 一、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
(请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分) .
1??N?M??????(y).
M??x?y?1、方程M(x,y)dx?N(x,y)dy?0有积分因子u?u(y)的充要条件为
2、fy(x,y)连续是保证f(x,y)对y满足利普希茨条件的 充分条件 条件．
et?e?t?te2t2t2t3、函数组et,e?t,e2t的朗斯基行列式值为etet?ee2e4e??6e．
2t?t
4、若y??1(x),y??2(x)是二阶齐次线性微分方程的基本解组，则它们 无 (有或无)共同零点．
5、若矩阵A具有n个线性无关的特征向量v1,v2,?,vn，它们对应的特征值分别为?1,?2,??n，
'那么常系数线性方程组x?Ax的一个基解矩阵?(t)=[ev1,ev2,?,evn].
年 级： 专 业： ?1t?2t?nt 得 分 评卷人 二、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分.)
(请在每小题的括号中填上正确答案，错填、不填均无分)
n
1、形如
dydx?P(x)y??(x)y(n?0,1)的方程是（ D ）.
A．欧拉方程 B．贝塞尔方程 C．黎卡尔方程 D．伯努力方程
教研室主任 (签字)： 系主任(签字)：
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2、设p(x),q(x)连续，y1(x),y2(x)是y???p(x)y??q(x)y?0在(??,??)上的两个线性无关
解，且y1??(0)?0, y2??(0)?0，则（ A ）.
（A）p(0)?0,q(0)?0 （B）p(0)?1,q(0)?0
（C）p(0)?0,q(0)?1 （D）p(0)?1,q(0)?1
3、二阶非齐次线性微分方程的所有解（ C ）．
（A）构成一个2维线性空间 （B）构成一个3维线性空间 （C）不能构成一个线性空间 （D）构成一个无限维线性空间
4、如果f(x,y)，
?f(x,y)?y都在xoy平面上连续，而且f(x,y)有界，则方程
dydx?f(x,y) 的
任一解的存在区间（ A ）．
（A）必为(??,??) （B）必为(0,??) （C）必为(??,0) （D）将因解而定
5、若?(x)是齐次线性方程组
dYdx?A(x)Y的一个基解矩阵，T为非奇异n?n常数矩阵，那么
?(x)T是否还是此方程组的基解矩阵（ B ）.
(A) 不是 (B) 是 (C) 也许是 (D) 也许不是
得 分 评卷人 得分 三、计算题(本题共4小题，每小题6分，共24分)(求下列微分方程的
通解) .
dydx?2xy?xy2x(1?x)221、；
1、解：将方程变为ydy?1(1?x)2dx .............................（2分）
则有ydy?从而得
122d(x?1) ..........................（1分）
2y?ln(1?x)?c(c为任意的常数）． ………………………… （3分）
22、(x?xy)dx?(xy?y)dy?0；
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3223解：由于
?M?y?2xy??N?x，所以原方程是恰当方程． （2分 ）
假设存在u使得它同时满足方程：
?u?x?x?xy 和
32?u?y23?xy?y （1分 ）
则有u?1414x?412xy??(y)且
22?u?y2'32'?xy??(y)，所以?(y)?y （2分 ）
?(y)?y，即原方程的通解为：x?2xy?y?C ..............................（1分）
44243、x\?2x'?2x?etcost；
解：齐次方程的特征方程为 ??2??2?0,?1,2?1?i
齐次方程的通解为 x?et(c1cost?c2sint). …………………… （2分） 令 x\?2x'?2x?te(1?i)t，并求其特解如下： 由于1?i是单根，故设特解为 x?t(At?B)e(1?i)t 代入原方程比较系数得 A??所以 x?14t2i4,B?14.
te[(cost?tsint)?i(sint?tcost)].
14te(cost?tsint). …………………… （3分）
14te(cost?tsint).…………………… （1分）
tt则原方程有特解 Re{x}?t 故原方程的通解为 x?e(c1cost?c2sint)?4、tx?3tx?x?0；
2\'解：令方程的解为x?t，代入原方程有 k(k?1)?3k?1?0 ……………（3分）
?1?1 于是k??1（二重）（1分）故原方程的通解为x?c1t?c2tln|t| （2分）
k
得 分 评卷人 得分 四、解答题(本题共2小题，每小题10分，共20分) (写出解题的详细步骤) .
x（1）设函数?(x)连续且满足?(x)?e??x0t?(t)dt?x??(t)dt，求?(x).
0xx解：两边关于x求一阶导数，有 ??(x)?e??x0?(t)dt………………… （2分）
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两边关于x再求一阶导数，得???(x)?ex??(x)………………… （2分） 即 ???(x)??(x)?ex 而且?(0)???(0)?1……………… （1分） 而方程???(x)??(x)?ex的解表示为?(x)?c1cosx?c2sinx?由?(0)???(0)?1，可得?(x)?12cosx?12sinx?12x12e……………… （3分）
xe ………………… （2分）
?dx?3x?y?1???1??dt（2）求方程组?满足初始条件?(0)???的解.
?1??dy?3y??dt解：方程组的特征方程为 ??30?1?(??3)?0，所以特征根为??3（二重）…………………… （2分）
2??3对应齐次方程组的基解矩阵expAt?e3t?I?(A?3E)t??et3t?1??0t??……………… （3分） 1?满足初始条件的特解?(t)?expAt??expAt?exp(?As)f(s)ds…………… （2分）
013t?=e??03tt???1?13t??e????1??1??0t?t?3s??0e1??1??0?s??1????ds1??0?1?t?1?3t?=e???e?1???03t?te3t?2?e?133=??3te???3tt??1?1e?33???1??0? …………………… （3分）
得 分 评卷人 五、证明题(本大题共2小题，每小题13分，共26分)
(写出解题的详细步骤，空间不够请将答案写在试卷背后) .
1、假设x1?t??0是二阶齐次线性方程x???a1?t?x??a2?t?x?0的解，其中
a1?t?和a2?t?在区间?a,b?上连续，试证：
（1）x2?t?是方程的解的充要条件为：w??x1,x2??a1w?x1,x2??0；
?1??x?xcexp??11?2（2）方程的通解可以表示为：?x1??为常数,t0,t??a,b? .
证：（１）w??x1,x2??a1w?x1,x2??0
?tt0??a1?s?ds?dt?c2????，其中c1,c2
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?x1x2?x1x2???????x1x2?a1x1x2?a1x1x2?0????a1x1x2?a1x1x2?a1x1x2?a1x1x2?0???x1??x2?a1x2?a1x2???0?????x2?a1x2?a1x2?0,?x1?0?即x2为(*)的解。…………………… （6分）
（２）因为x1,x2为方程的解，则由刘维尔公式
x1?x1??x2?t0a1?s?ds,即:??w?t0?ex2tx1x2?x1x2?w?t0?e
???t0a1?s?ds…………………… （3
t分）
两边都乘以
1x12则有：
t?x2d??x?1dt?????w?t0?x12?e?t0a1?s?ds，于是：
tx2x1?c1?1x12e??t0a1?s?dstdt?c2??…………………… （4分） 1??t0a1?s?ds即：x2??c1?2edt?c2?x1??x1??
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号：
姓 名： 所属院系：
2. 设y??1(x)和y??2(x)是方程y???q(x)y?0的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式
w(x)?c，其中c为常数.
证明：因为y??1(x),y??2(x)方程y???q(x)y?0的任意两个解 所以?1??(x)?q(x)?1(x)?0,?2??(x)?q(x)?2(x)?0，…………………… （4分） 于是?1(x),?2(x)构成的伏朗斯基行列式
?1(x)?1?(x)?2(x)?2?(x)W(x)? W?(x)??1(x)?1??(x)?2(x)?2??(x)??q(x)?1(x)?1?(x)?2(x)?2?(x)?0 …………… （5分）
由于y??1(x)和y??2(x)是方程y???q(x)y?0的解，
因此?1??(x)?q(x)?1(x)?0,?2??(x)?q(x)?2(x)?0，所以w?(x)?0，故w(x)?c … （4分）
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