矩阵证明题(2)

设??AO??AO?列向量组的极大无关组为，即?,?,...,?r?r 12r????OB??OB???而任意的?i?、????jj1,?j2,...,?jt线性表示，

?则任意?k必可由向量组?i?1,?i?2,...,?is?AO?都是??的列向量，均可由?1,?2,...,?r线性表示；故向量组

OB???i1,?i2,...,?is?j1,?j2,...,?jt与向量组?1,?2,...,?r等价。——得8分

所以r=s+t，即r??AO???r(A)?r(B)。 ——得10分 OB??－

3．设A为n阶满秩方阵(n≥2),A*为A的伴随矩阵,求证(A*)*=|A| n2A. 3．证：?AA*?A*A?|A|E,?(A*)(A*)*?|A*|E ——得4分

两边左乘A得?A(A*)(A*)*?A|A*|E，即|A|E(A*)*?|A*|A

——得8分

又因为A为n阶满秩方阵(n≥2)，即|A|?0，|A*|?|A|n?1。

－

所以(A*)*=|A| n2A. ——得10分

4．设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*? 证明?

(1)若|A|?0? 则|A*|?0? (2)|A*|?|A|n?1?

4．证：(1)用反证法证明? 假设|A*|?0? 则有A*(A*)?1?E? 由此得 A?A A*(A*)?1?|A|E(A*)?1?O ?

所以A*?O? 这与|A*|?0矛盾，故当|A|?0时? 有|A*|?0? ——得5分 (2)由于A?1?1A*? 则AA*?|A|E? 取行列式得到 |A| |A||A*|?|A|n?

若|A|?0? 则|A*|?|A|n?1?

若|A|?0? 由(1)知|A*|?0? 此时命题也成立?

因此|A*|?|A|n?1? ——得10分 5．设A为m?n矩阵，B为n阶矩阵，且r(A)=n，试证： （1）若AB=O，则B=O；（2）若AB=A则B=E。

5．证：（1）设B的列向量组为：?1,?2,...,?n，显然任意?j都是齐次线性方程组AX=0的解向量。因为r(Am?n)=n，所以AX=0只有零解，即所有?j?0。故B=O。 ——得5分

（2）若AB=A则AB-A=O，A(B-E)=O

由（1）的结论可知(B-E)=O，即B=E。 ——得10分 6．设A、B为m?n矩阵，则r(A+B)?r(A)+r(B)。

6．证：设A的列向量组为?1,?2,...,?n，其极大无关组为?i1,?i2,...,?is，即r(A)?s

设B的列向量组为?1,?2,...,?n，其极大无关组为?j1,?j2,...,?jt，即r(B)?t

——得2分

设A+B列向量组为?1??1,?2??2,...,?n??n，其任意一个向量 向量组?i1,?i2,...,?is?k??k可由

即向量组?1??1,?2??2,...,?n??n?j1,?j2,...,?jt线性表示，

可由向量组?i1,?i2,...,?is

?j1,?j2,...,?jt线性表示。 ——得8分

所以r(?1??1,?2??2,...,?n??n)?r(?i1,?i2,...,?is?j1,?j2,...,?jt)?s+t

即r(A+B)?r(A)+r(B)。 ——得10分

7．如果A是n阶矩阵(n?2),且r(A)?n?1,试证r(A?)?1 7．证：?r(A)?n?1;?|A|?0且A?O(至少有一个Aij?0)?

——得2分

?AA??|A|E?O,?A?的列向量?j(j?1,2,...n)都是AX?O的解向量

?r(A)?n?1;?r(A*)?r(?1,?2,...,?n)?n?r(A)?1 ——得8分

?r(A*)?1,A??O;?r(A*)?1 ——得10分

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