第三章 控制系统的时域分析(2)

例3-12 某单位反馈系统的开环零、极点分布如图3-26所示，判定系统是否可以稳定。若可以稳定，请确定相应的开环增益范围；若不可以，请说明理由。

解 由开环零、极点分布图可写出系统的开环传递函数 G(s)?K?s?1??s3?1?2?9K(s?1)?s?3?2

闭环系统特征方程为：

D(s)??s?3??9K?s?1??s2??9K?6?s?9?1?K??0

2?9K?6?0对于二阶系统，特征方程系数全部大于零就可以保证系统稳定。由?，可确定使

?1?K?0系统稳定的K值范围为

2?K?1。 3由此例可以看出，闭环系统的稳定性与系统开环是否稳定之间没有直接关系。 例3-13 控制系统结构图如图3-27所示。

（1）确定使系统稳定的开环增益K与阻尼比?的取值范围，并画出相应区域； （2）当??2时，确定使系统极点全部落在直线s??1左边的K值范围。 解 （1） 系统开环传递函数为 G(s)?Ka 2s(s?20?s?100)开环增益 K?系统特征方程

Ka 100 D(s)?s3?20?s2?100s?100K?0 列劳斯表

s3

1

20?

100

100K

???0

?20??K

s2

s1

(2000??100K)20?

0 0

s0 100K

?K?0

根据稳定条件画出使系统稳定的参数区域如图3-28所示。

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?（2）令s?s?1进行坐标平移，使新坐标的虚轴?s?0与原坐标s??1直线重合，这样就可以在新坐标

下用劳斯判据解决问题。令

???? D(s)?(s?1)3?20?(s?1)2?100(s?1)?100K 代入??2，整理得

???? D(s)?s3?37s2?23s?(100K?61)

列劳斯表：

s3 s2

1 37

23

?K?9.12 ?K?0.61

100K?61

0 0

s1 (37?23?61?100K)37 s0

100K?61

因此，使系统极点全部落在s平面s??1左边的K值范围是0.61?K?9.12。

3.2典型输入信号

系统在实际工作过程中会接受不同的输入信号，有时具有随机性。不同系统性能的优劣，需要比较的基准。经验表明：一般考查典型输入信号作用下系统的响应规律，来评价系统性能的优劣。

典型输入信号满足的条件：

1）在典型输入信号作用下，系统的性能应反映出系统在实际工作条件下的性能，考虑系统的极限工作情况；

2）典型输入信号的数学表达要简单，便于数学分析和理论计算； 3）在控制现场或者实验室中容易产生，便于实验分析和检验。 1、阶跃信号

A = 1 时，称为单位阶跃信号，拉普拉斯变换为：

7

2、斜坡信号（速度信号）

A = 1 时，称为单位斜坡信号。 拉普拉斯变换为：

3、抛物线信号（加速度信号）

A = 1 时，称为单位抛物线信号。 拉普拉斯变换为：

4、脉冲信号

拉普拉斯变换为：

8

5、正弦信号

拉普拉斯变换为：

系统分析、设计与实验时，应根据系统正常工作条件下的实际输入信号情况来确定。 例如：系统参考输入是经常突变的，或者系统受到突变的扰动的影响，可以选择阶跃输入信号。系统输入信号是随时间缓慢增加的，可以选择斜坡输入信号；系统输入信号是冲击量时，可以选择脉冲输入信号；系统输入信号呈现周期性，可以选择正弦输入信号。

3.3 一阶系统的时间响应及动态性能

3.2.1 一阶系统传递函数标准形式及单位阶跃响应

一阶系统的典型结构如图3-2所示，K是开环增益。 系统传递函数的标准形式（尾1型）为:

?(s)?K1 （3-2） ?s?KTs?1式中T?1K称为一阶系统的时间常数，系统特征根

???1T。

系统单位阶跃响应的拉氏变换为

C(s)??(s)?R(s)?1111

??Ts?1sss?1T

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单位阶跃响应

h(t)?L?1?C(s)??1?e3.2.2 一阶系统动态性能指标计算

一阶系统的单位阶跃响应如图3-3所示，响应是单调的指数上升曲线。依调节时间ts的定义有:

h(ts)?1?e解得：

ts?3T （3-4）

?tsT?tT （3-3）

=0.95

时间常数T是一阶系统的重要特征参数。

T越小，系统极点越远离虚轴，过渡过程越快。

图3-3 一阶系统的单位阶跃响应

图3-4给出一阶系统阶跃响应随时间常数T变化的趋势。

3.2.3 典型输入下一阶系统的响应

用同样方法讨论一阶系统的脉冲响应和斜坡响应，可将系统典型输入响应列成表3-2。

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