大学物理静电学

13-1．如图为半径为R的介质球，试分别计算下列两种情况下球表面上的极化面电荷密度和极化电荷的总和，已知极化强度为P(沿x轴)。

x（1）P?P0；（2）P?P0。

R??解：可利用公式q'?????P?dS?????Pcos?dS算出极化电荷。

SSyR首先考虑一个球的环形面元，有：dS?2?Rsin?(Rd?)， （1）P?P0时，由?'?Pcos?知?1'?P0cos?，

O?x?dS?Pq1'???P0cos??2?R2sin?d???0??R2P02??0sin2?d2??0；

yR（2）P?P0?0xxRcos?cos??P0cos2?， 时，?2'?P0cos??P0RRR222?q2'???P0cos??2?Rsin?d??2?RP0?cos?dcos?

0?Ox?Rcos??r?Rsin?2x2?R2P0?cos3?3?04?R2P0??。

3

13-10．半径为2.0cm的导体外套有一个与它同心的导体球壳，球壳的内外半径分别为

4.0cm和5.0cm，当内球带电量为3.0?10?8C时，求：（1）系统储存了多少电能?（2）用

导线把壳与球连在一起后电能变化了多少？ 解：（1）先求场强分布：

?E1?0?q?E2?4??0r2?E???E3?0?q?E3?24??r0?r?R1R1?r?R2R2?r?R3r?R3

R1?R2R3考虑到电场能量密度we?12?E，有：球与球壳之间的电能： 2?02?0R2qq211?422?1.01?10J W1????EdV??()4?rdr?(?)2R2214??0r8??0R1R2球壳外部空间的电能：

W2?????02EdV?2?02??R3(q4??0r2)4?rdr?22q28??0R3?8.1?10?5J，

∴系统储存的电能：W?W1?W2?1.82?10?4J；

（2）如用导线把壳与球连在一起，球与球壳内表面所带电荷为0，所以W1'?0 而外表面所带电荷不变，那么：W'?W2?8.1?10?5J。

11-16．电荷以相同的面密度??分布在半径为r1?10cm和r2?20cm的两个同心球面上，设无限远处电势为零，球心处的电势为U0?300V。

（1）求电荷面密度?；

（2）若要使球心处的电势也为零，外球面上电荷面密度??为多少？

（?0?8.85?10?12C2?N?1m?2）

解：（1）当r?r1时，因高斯面内不包围电荷，有：E1?0，

r1?r12O当r1?r?r2时，利用高斯定理可求得：E2?， 2?0rr2?(r12?r22)当r?r2时，可求得：E3?，

?0r2222r?r1??(r1?r2)r??????dr?dr∴U0??E2?dr??E3?dr???(r1?r2) 2?r?r2rrr?0r?002212128.85?10?12?300那么：????8.85?10?9Cm2 ?3r1?r230?10（2）设外球面上放电后电荷密度?'，则有：

?r1?U0'?(?r1??'r2)/?0?0，∴?'????

r22?0U0则应放掉电荷为：

11-17．如图所示，半径为R的均匀带电球面，带有电荷q，沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为?，长度为l，细线左端离球心距离为r0。设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能（设无穷远处的电势为零）。 解：（1）以O点为坐标原点，有一均匀带电细线的方向为x轴， 均匀带电球面在球面外的场强分布为：E?322?4?3.14?8.85?10?12?300?0.2?6.67?10?9C。 ?q?4?r2(???')???4?r22q24??0r??取细线上的微元：dq??dl??dr，有：dF?Edq，

???r0?lq?qlr????为rr∴F??（方向上的单位矢量） ?dr?r04??0x24??0r0(r0?l)q（2）∵均匀带电球面在球面外的电势分布为：U?（r?R，?为电势零点）。

4??0rq??dr， 对细线上的微元dq??dr，所具有的电势能为：dW?4??0rr0?l?drr0?lqq??ln∴W?。 ?r04??0r4??0r0

（r?R）。

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